第四十八章 我要交卷

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秦克刷刷刷地在試卷的答題區邊寫邊畫起來：

“解：把1，2，…，13按如下規則排成一個圓圈：先排1，在1旁邊放9（與1的差為8），在9的旁邊放4（與9的差為5），這樣繼續放下去，每個數旁邊的數與它相差8或5，最後得到如圖1所示的一個圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，3，11，6），圈上的數能同時滿足：”

“（1）每兩個相鄰的數的差或是8，或是5；

（2）兩個不相鄰的數的差既不等於5，也不等於8。

所以本題可以化歸為：在這個圈上，至多能選幾個數，使得每兩個數在圈上不相鄰。”

OK，搞定，完成化歸了。

這個化歸後的問題，是不是與他給寧青筠舉過的例子實質一模一樣了？

所以接下來秦克做起來毫無難度可言，直接將那例子的解法寫出來就行了。

“再畫一個圈，依次排上1，2，…，13，那麼可以選出6個數字，符合不相鄰的條件，比如1，3，5，7，9，11。見圖2。

接下來驗證最多可以選幾個數字。我們先任意選定數字1，這時與之相鄰的2，13都不能選了，把剩下的10個數字配成5對，分別是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在這5對數字中，每一對至多隻能選出1個數，也就是說，連同數字1在內，最多隻能選出6個數字，使它們互不相鄰。

由此可以得出本問題的答案是：6。”

秦克輕鬆加愉快，在五分鐘不到就搞定第一道附加題。

他看了眼窗外，不知道寧青筠有沒有想起這例題和能不能運用出化歸法，如果也能想起，那這25分她自然能穩穩收入囊中了。

加油吧，學委，我只能幫你到這裡了。

秦克又向看第二題，第二題也相當有難度，難怪能選為附加捲的大題。

“附加題2：設△ABC中，頂點A，B，C的對邊分別是a，b，c，內心I到頂點A，B，C的距離分別為m，n，l，求證：al^2+bm^2+cn^2=abc”

這一題看似條件不足無從下手，但秦克略一思索，便有了思路。

他決定用面積法來證明。

面積法最基本的思想，就是用兩種不同的方法計算同一個面積，得到的結果應該是相等的。

首先引入△ABC的外接圓半徑R，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，

三角形面積S=(1/2)absinC

=(1/2)ab·c/2R

=abc/4R，

所以S=abc/4R。

再將△ABC分割為3個四邊形，ΔABC的面積S，顯然等於3個四邊形的面積之和S。

如此便將上面的S=abc/4R與3個四邊形面積之和，建立起面積等式。

再根據3個四邊形都有外接圓，且對角線相互垂直，用已知量來表示它們的面積並不會太難，再借助△ABC的外接圓半徑R可以消去角的正弦，不出意外，輕易就能證明這題的結論。

OK，開幹。

“證明：設△ABC內切圓與三邊BC，CA，AB分別相切於D，E，F，分別連線EF，EI，FI，DI，AI，分別得到AEIF，BFID，CDIE三個四邊形……”

“所以S△ABC=SAEIF+SBFID+SCDIE=（al^2+bm^2+cn^2）/4R，又因為S△ABC=abc/4R，由面積法可知兩種方法求得的S△ABC相等，由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”

秦克神色輕鬆地放下筆，最後檢查了一遍確定沒漏題後，看看左右的考生，見人人都做得眉頭緊鎖，全文彥倒已恢復了正常，正刷刷刷地答題。

秦克眼珠一轉，故意舉手道：“報告老師。”

原本考室裡就非常安靜，只有監考老師踱步的聲音和極偶爾的咳嗽聲，所以秦克的聲音雖然不算大，多數學生還是聽到的，不由都好奇地抬頭看了他一眼。

尤其是全文彥，聽到秦克的聲音下意識地渾身一個激靈，連做題的思路都被打斷了。

這時已有個三十歲出頭的監考女老師走了過來，問秦克：“同學，你有什麼事？”

“我想交卷。”

聽到這句話，考室裡的一眾苦戰考卷的考生們幾乎同時都冒出一個念頭，終於有人被這次題目又多又難的初賽卷子給弄崩潰、要早早放棄了。

眾人心裡感嘆之餘，也暗暗給自己鼓勵，自己可不能像這傢伙一樣輕易就放棄了，得堅持和發揮奧林匹克精神，就算不會做，也要堅持到最後一刻！

加油，XXX，你行的！

考室裡的學生們心思大同小異，全文彥和遠處的池嘉慕更是精神一振。

兩人原本進入考場後心情久久不能平伏，好不容易進入狀態，剛剛解了一兩道題，就聽到了秦克要交卷，兩人在心頭一鬆的同時，也不由“呵”地冷笑，這痞子果然水平很爛，也不知道怎麼混入參賽隊伍中的，趕緊滾吧。

與秦克“仇深似海”的全文彥，自信心刷地回覆了。

自己剛才居然有點怕這個學渣痞子，簡直好笑！這回自己就要用鐵打的分數，狠狠地反抽他的臉！讓他知道，這奧數考試，不是他這樣的渣子能混進來撒野的！

還有那個寧青筠，仗著長得漂亮就傲氣得不行，自己這回也要甩開她幾十分，讓她在自己面前永遠抬不起頭來！

這邊全文彥心裡全是病態的報復心理和自己YY產生的快意，來到秦克旁邊的女老師倒是脾氣好，也是個負責任的，她溫聲道：“同學，按照規定，不到一個半小時不能交卷的。這次的題目確實有點難度，你就算不會也應該多努力思考，說不定就……”

她見慣了考奧數考到崩潰的學生，知道該如何安撫。

“可我做完了啊。”

女老師說到一半的話戛然而止，她還以為自己聽錯了：“什麼？”

秦克就等她這話，便放大了聲音道：“我說，我已做完試卷了。這卷子太簡單，一點難度都沒，我所有題目都做完了，留下來也沒什麼事情做，能不能提前交卷啊？”

全場原本有點兒熱血積極的氣氛，頓時變得一片死寂。

所有考生都驚愕地抬頭看向這個大言不慚的考生，心中只閃過一個念頭，吹牛吧？這怎麼可能？